Passiamo ora advert esaminare due vastissime gamme di integrali risolvibili con opportune sostituzioni. Ci limiteremo advert alcuni esempi , solo per dare un “assaggio” della grande varietà di casi. Si tratta, come è evidente, di affidarsi spesso a un buon intuito, nonché alla consapevolezza di ottenere, dopo la sostituzione, un integrale il più semplice possibile.
E può essere calcolato ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale a patto che nell’intervallo chiuso e limitato non sia compreso lo zero. Se fosse possibile mi piacerebbe anche sapere come si calcola l’integrale definito di 1/x. Si trasforma in un usuale(!!) integrale di funzione razionale fratta.
Integrali Notevoli
Calcolare il differenziale dx tramite la derivata di x’ dt. Si possono risolvere riducendo il denominatore, con opportuni artifizi, alla somma o alla differenza di un quadrato con un numero. Quando il grado della funzione al numeratore è maggìore o eguale a quello della funzione al denominatore, la funzione razionale dicesi impropria ; nel caso opposto dicesi propria.
È uno degli integrali fondamentali, è uguale al logaritmo del valore assoluto di x più una costante arbitraria e si calcola usando la definizione di integrale indefinito. La precedente tabella mostra le funzioni primitive delle principali funzioni elementari f. Una volta memorizzata, la tabella consente di svolgere più velocemente il calcolo dell’integrale di una funzione. Si definisce funzione primitiva o integrale indefinito di una funzione $f$, la funzione $F$ che ha $f$ per derivata. Le seguenti regole di integrazione consentono di calcolare velocemente la primitiva delle principali funzioni elementari. Nei prossimi paragrafi sono pubblicate le spiegazioni e le dimostrazioni matematiche del calcolo della primitiva di alcune funzioni elementari.
Integrazione Per Parti
Dove R è una funzione razionale intera dì grado inferiorea quello di N. Si vede così che l’integrazione di una funzione razionale impropria viene ricondotta all’integrazione di una funzione razionale intera e dì una funzione razionale propria. Basta quindi che ci occupiamo dell’integrazìone delle funzioni razionali proprie.
Calcolato tale integrale, si sostituisce al posto di t il suo valore e il risultato è finalmente espresso nella variabile iniziale x. Il nuovo integrale, tutto riferito alla variabile t, è in genere di più facile risoluzione. Ci chiediamo ora se è possibile generalizzare le osservazioni fatte a tutti gli integrali immediati. Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre primitive.
Dove e è una costante che può assumere qualunque valore reale.
Esercizio 6
Si semplifica quando si cambia la variabile d’integrazione x con un’altra variabile t legata alla precedente da una opportuna relazione. Serve, com’ è evidente, innanzitutto una buona dose di intuito. Dunque, se si tratta di un numero, e solo se si tratta di un numero, è possibile moltiplicare e dividere per quel numero. Sicchè, mentre l’operazione di derivazione non può applicarsi a tutte le funzioni proceed, l’operazione inversa può invece applicarsi a tutte le funzioni proceed. L’operazione di integrazione indefinita appare così come l’operazione inversa della derivazione.
L’integrale Di X
Il valore assoluto è richiesto per avere tutte le primitive “possibili e immaginabili”. Si tratta di una vasta gamma di integrali, per i quali è indispensabile prima una opportuna sostituzione. L’integrale risulterà di facile svolgimento se la scelta delle due funzioni è appropriata. Dimostriamo inanzitutto la relazione, che scaturisce dal teorema della derivata del prodotto. E’ certamente un integrale che a che fare con quello della potenza. Potremmo, in linea di principio, svilupparlo secondo regole algebriche note, ma il “disagio” è evidente.
Va aggiunto che tutti gli integrali, che noi preferiamo risolvere come integrali quasi immediati, possono essere risolti per sostituzione. Si otterrà in ogni caso la somma di un logaritmo e di un arcotangente, se, ovvero di un logaritmo e di una potenza, se. Se al posto di x figura φ, ovvero una funzione del tipo f(φ), occorre che sotto il segno di integrale figuri φ’. Se al posto di x figura φ, se cioè la funzione da integrare è una funzione composta, occorre che sotto il segno di integrale figuri anche la sua derivata φ’. L’integrale indefinito di una funzione dipende quindi da una costanteadditiva c.
Elevare alla terza entrambi i membri dell’equazione per mettere in evidenza la variabile x. Non ci resta(..si fa per dire…) che sostituire nellae fare i calcoli. Noi ci limitiamo, oltre ai casi già trattati, advert altri due casi indubbiamente utili che, va subito premesso, portano però a calcoli in genere molto lunghi. Possiamo comunque offrire una ampia gamma di casi che possono essere utili. Naturalmente non esiste la possibilità di riconoscere in ogni caso quale sia la sostituzione migliore.